Всего: 37 1–20 | 21–37
Добавить в вариант
Сложив все неравенства и поделив пополам, получим: 
то есть, что сумма длин любой пары противоположных рёбер меньше суммы двух других аналогичных сумм. Из неравенства треугольника следует существование искомого в условии треугольника.Равнобедренный треугольник с углом 
при вершине вписан в равносторонний треугольник со стороной 2 так, что эта вершина совпадает с серединой стороны равностороннего треугольника.
а) Найдите выражение для площади 
этого треугольника.
б) Покажите, что
в) Докажите, что 
причем 
и 
По условию также 
то есть точки E, F лежат на окружности с центром в точке D. Такая окружность может пересекать стороны AB и BC один или два раза. Поэтому возможны два принципиально различных случая.
треугольники AED и CFD равны по трем сторонам, 
Рассмотрим точку 
симметричную E относительно H. Тогда треугольники EDH и 
равны по двум катетам, 
и прямые E1F и AC параллельны. 
тогда 
Далее, 
и 
и 
(в случае, когда 
получаем предыдущий случай, его ответ пришлось добавить, поэтому интервал полуоткрытый).
и 
удобно сделать замену 
откуда 
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение 
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Решите уравнение 
и построив график функции 
получим ответ.
два, если 
и три корня, если 
нетрудно показать, что она неотрицательна при всех x, значит, 
Осталось перемножить неравенства 
(обе части которых по предположению неотрицательны). 
и 
Таким образом, 
и 
откуда 
то функция f монотонна на каждом из отрезков 
значит, на каждом из них она имеет не более одного корня. То, что 
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Найдите все 
при которых функция g периодична.
или 
два, если 
и три корня, если 
а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если не существует треугольника с длинами сторон a, b, c, то нет и треугольника со сторонами
г) Докажите, что треугольник ABC является прямоугольным тогда и только тогда, когда 
Относительно новой переменной имеем уравнение 
и только они, 
По определению геометрической вероятности, искомая вероятность равна отношению площади множества точек единичного квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству, т. е. площади подграфика функции 
к площади самого этого квадрата. Таким образом, эта вероятность равна интегралу 
тогда 
откуда и следует, что один из углов треугольника — прямой.а) Решите уравнение 
б) Числа 
выбираются случайным образом. Найдите вероятность того, что многочлен 
имеет действительные корни.
в) Докажите, что если a, b, c — длины сторон некоторого треугольника, то из отрезков длиной 
также можно составить треугольник.
г) Дан треугольник ABC. Докажите, что если 
то он либо равнобедренный, либо прямоугольный.
тогда 
и уравнение примет вид
(поскольку вероятность события 
равна нулю). Тогда необходимо и достаточно выполнения условия 
то есть 
Рассмотрим на координатной плоскость с координатами 
график функции 
и вычислим площадь заштрихованной части (см рисунок)
Проверим для самой большой из сторон 
неравенство треугольника 
что очевидно — раскрывая скобки в правой части по формуле бинома Ньютона, получим 
где все не выписанные слагаемые положительны.
получим
Более того, если 
то 
а 
и равенство невозможно. Итак, 
Аналогично 
где 
и треугольник является равнобедренным; либо 
где 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Внутри угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 от нее расположена точка M. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны этого угла.
г) Сколько сторон имеет сечение куба 
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
получаем уравнение 
т. е. 
При 
имеем 
т. е. 
Вообще, 
есть решение только при 
Поэтому в дальнейшем будем считать, что 
После 
откуда 
Случай 
Из условий 
получаем, что 
Таким образом, 
при 
при 
так что 
Для определения коэффициентов уравнения 
плоскости 
получаем систему 
и 
Найдем координаты точки P пересечения прямой 
и плоскости KLM: 
так 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) На сторонах угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
и 
не подходят в неравенство. При прочих x можно домножить неравенство на 
и получить
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
поэтому он всегда положителен. Сократив его, получим 
откуда 
или 
и 
получаем 
Тогда 
и уравнение примет вид
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, получим
При прочих a можно сократить на 
получим
поэтому такой корень подходит.
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, отсюда
тогда 
При 
это невозможно (правая часть неположительная, а левая положительна). При 
получим
при условии 
то есть 
Итак, такой корень подходит при 
при прочих отрицательных a нет корней.
то есть 
в случаях 
Во всех случаях 
при 
и 
при 
при 
нет корней; при 
при 
и 
при 
при 
при 
при 
при 
тогда 
откуда 
Аналогично по теореме синусов для треугольника MKL получаем 
тогда 
и 
Отметим кроме того точку 
для которой 
Тогда 
и 
- параллелограмм (его стороны 
и AK равны и параллельны), поэтому 
и 
и 
поэтому 
—
и 
и 
поэтому точки K, L, M, D лежат в одной плоскости (и образуют там вершины параллелограмма). Этот параллелограмм и будет сечением куба, поэтому сечение имеет 4 стороны.
Отметим на стороне AB такую точку D, что 
В силу симметрии, отрезки MC и ND пересекаются в некой точке P, причём 
Из симметрии также следует, что 
(т. к. 
из неравенства треугольника); 
откуда 
поскольку 
то 
или, что то же самое, 
невозможно. Противоречие.2.2 На описанной окружности треугольника ABC отметили точки X и Y — середины дуг AC и AB соответственно. Отрезок XY и сторона треугольника AC пересекаются в точке Z. Докажите, что 
Развернуть
Из этого следует, что XY — общая ось симметрии двух равнобедренных треугольников, т. е., действительно, серпер AI. Вместо трилистника можно, разумеется, воспользоваться более школьными соображениями (впрочем, его несложно и вывести случайно).
По неравенству треугольника 
Осталось доказать, что 
Проделываем какие-то рассуждения (см. выше) и понимаем, что 
а так же, по условию, 
Следовательно, 
то есть, 
При этом
В прямоугольном треугольнике ABC: 
AC = 6, BC = 4. На прямой BC отмечается такая точка D (CD > BD), что 
На прямой AD отмечается такая точка E, что периметр треугольника CBE — наименьший из возможных. Затем, на прямой DС отмечается такая точка F, что периметр треугольника AFE — наименьший из возможных. Найти CF.
Отметим точку B1 на стороне DK, так
наименьшая (неравенство треугольника —
Аналогично, отметим точку A1 на стороне AC 
Проведем прямую A1E, которая пересечет CD в точке F.
вертикальные и 
то 
—
вертикальные), тогда 
CAKD — квадрат со стороной 6. На стороне CD выбирается точка B (BD = 2), а на прямой AD — такая точка E, что периметр треугольника BEC — наименьший из возможных. Затем, на прямой DС отмечается такая точка F, что периметр треугольника FEA — наименьший из возможных. Найти EF.
и 
Докажите неравенство 
и 
Тогда 
одинаково направлены, то есть
должно быть делителем числа 25. Составим таблицу: 
Так как точки A и C лежат на биссектрисе первого и третьего координатного углов, а точка B — на биссектрисе второго координатного угла, то BO перпендикулярна AC. Очевидно, что 
Поэтому 
—
поэтому расположение точек X и Y на гипотенузе будет именно таким (см. рисунок). 
и 
тогда 
и 
Воспользуемся теоремой Пифагора 
Докажите, что 
и 
Из неравенства треугольника в треугольнике BMN следует, что 
Из подобия треугольников ABC и MBN имеем 
Отсюда 
так как Дан неравносторонний треугольник со сторонами a, b, c. Если существует треугольник со сторонами 
то рассматривают этот новый треугольник и с ним проделывают ту же процедуру (и т. д.), в противном случае процесс заканчивается.
а) Может ли в этом процессе встретиться треугольник, подобный исходному?
б) Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
тогда три новых числа, очевидно, будут удовлетворять неравенствам 
равная разности между наибольшей и наименьшей стороной, после одной процедуры будет равна 
а после n-ой процедуры будет 
Значит, если бы на n ом шаге треугольник оказался подобен исходному, то коэффициент подобия был бы равен 2n, но, с другой стороны, большая сторона за каждый шаг увеличивается менее, чем в два раза: действительно, в противном случае получили бы неравенство 
растет как геометрическая прогрессия со знаменателем 2, она станет больше периметра, но это, очевидно, противоречит положительности всех трех сторон треугольника. Комментарий. Рассуждение пункта б), основанное на сохранении периметра, могло быть применено и в пункте a): тогда из подобия треугольников следовало бы их равенство.